DefiniçãO E Exemplos De FunçãO De 1 Grau 9 Ano

Definição E Exemplos De Função De 1 Grau 9 Ano é um tópico fundamental no estudo da matemática, especialmente para alunos do 9º ano. A função de 1º grau, também conhecida como função linear, é uma ferramenta poderosa para modelar relações entre grandezas que variam proporcionalmente.

Nesta jornada, iremos desvendar os conceitos básicos da função de 1º grau, explorando sua representação algébrica, gráfica e propriedades. Além disso, veremos como essa função é aplicada em diversas situações do dia a dia, desde problemas simples até cenários mais complexos em áreas como física, economia e outras ciências.

Começaremos definindo a função de 1º grau e explorando sua representação algébrica, identificando seus elementos chave: o coeficiente angular, o coeficiente linear, a variável independente e a variável dependente. Em seguida, mergulharemos na representação gráfica da função de 1º grau, aprendendo a construir gráficos a partir de dois pontos e compreendendo as características da reta que representa a função.

Abordaremos também a relação entre o coeficiente angular e a inclinação da reta, bem como o papel do coeficiente linear na intersecção com o eixo y.

Introdução à Função de 1º Grau

A função de 1º grau, também conhecida como função linear, é um conceito fundamental na matemática, com aplicações em diversas áreas do conhecimento. Ela descreve uma relação linear entre duas variáveis, onde a variação de uma é diretamente proporcional à variação da outra.

Nesta introdução, vamos explorar a definição, a representação algébrica e os elementos da função de 1º grau, preparando o terreno para uma compreensão mais profunda de seus aspectos e aplicações.

Definição

Uma função de 1º grau é uma função que pode ser representada por uma equação da forma:

y = ax + b

Onde:

• y é a variável dependente;
• x é a variável independente;
• a é o coeficiente angular, que determina a inclinação da reta;
• b é o coeficiente linear, que determina o ponto de intersecção da reta com o eixo y.

Representação Algébrica

A representação algébrica da função de 1º grau é a equação y = ax + b. Essa equação expressa a relação entre as variáveis y e x, mostrando como o valor de y varia em função do valor de x.

Os coeficientes a e b determinam a forma e a posição do gráfico da função.

Elementos da Função de 1º Grau

A função de 1º grau é caracterizada por quatro elementos principais:

• Coeficiente angular (a):Representa a inclinação da reta. Um coeficiente angular positivo indica uma reta crescente, enquanto um coeficiente angular negativo indica uma reta decrescente. O valor absoluto do coeficiente angular indica a inclinação da reta, ou seja, quanto maior o valor, mais inclinada é a reta.

• Coeficiente linear (b):Representa o ponto de intersecção da reta com o eixo y. Ou seja, quando x = 0, o valor de y é igual a b. O coeficiente linear determina a posição vertical da reta no gráfico.
• Variável independente (x):Representa a variável que pode assumir qualquer valor. É a variável que controla o valor da variável dependente.
• Variável dependente (y):Representa a variável cujo valor depende do valor da variável independente. Seu valor é determinado pela equação da função de 1º grau.

Representação Gráfica da Função de 1º Grau

O gráfico de uma função de 1º grau é sempre uma reta. A representação gráfica é uma ferramenta poderosa para visualizar a relação entre as variáveis e analisar o comportamento da função. Podemos construir o gráfico de uma função de 1º grau a partir de dois pontos, utilizando a equação da reta e as características do gráfico.

Construção do Gráfico

Para construir o gráfico de uma função de 1º grau, podemos seguir os seguintes passos:

1. Encontrar dois pontos que pertencem à reta:Podemos escolher dois valores arbitrários para x e calcular os valores correspondentes de y utilizando a equação da função. Por exemplo, para a função y = 2x + 1, podemos escolher x = 0 e x = 1, obtendo os pontos (0, 1) e (1, 3).

2. Marcar os pontos no plano cartesiano:Localize os pontos encontrados no plano cartesiano, onde o eixo horizontal representa a variável x e o eixo vertical representa a variável y.
3. Traçar a reta:Trace uma linha reta que passa pelos dois pontos marcados. Essa reta representa o gráfico da função de 1º grau.

Características do Gráfico

O gráfico de uma função de 1º grau é sempre uma reta. As características do gráfico estão diretamente relacionadas aos elementos da função:

• Inclinação:A inclinação da reta é determinada pelo coeficiente angular (a). Um coeficiente angular positivo indica uma reta crescente (de baixo para cima da esquerda para a direita), enquanto um coeficiente angular negativo indica uma reta decrescente (de cima para baixo da esquerda para a direita).

• Intersecção com o eixo y:O ponto de intersecção da reta com o eixo y é determinado pelo coeficiente linear (b). Esse ponto corresponde ao valor de y quando x = 0.

Comportamento do Gráfico

O comportamento do gráfico de uma função de 1º grau depende do sinal do coeficiente angular (a):

• a > 0:A reta é crescente, ou seja, o valor de y aumenta à medida que o valor de x aumenta.
• a < 0:A reta é decrescente, ou seja, o valor de y diminui à medida que o valor de x aumenta.
• a = 0:A reta é horizontal, ou seja, o valor de y permanece constante para qualquer valor de x. Neste caso, a função é uma função constante.

Exemplo

Considere a função de 1º grau y = -x + 2. Para construir o gráfico, podemos encontrar dois pontos que pertencem à reta. Escolhendo x = 0 e x = 2, obtemos os pontos (0, 2) e (2, 0). Marcando esses pontos no plano cartesiano e traçando uma reta que passa por eles, obtemos o gráfico da função.

Observe que o coeficiente angular é -1, indicando que a reta é decrescente. O coeficiente linear é 2, indicando que a reta intercepta o eixo y no ponto (0, 2).

Propriedades da Função de 1º Grau

A função de 1º grau possui propriedades importantes que a distinguem de outros tipos de funções. Essas propriedades estão relacionadas aos elementos da função, como o coeficiente angular e o coeficiente linear, e influenciam o comportamento da função.

Relação entre o Coeficiente Angular e a Inclinação da Reta

O coeficiente angular (a) da função de 1º grau determina a inclinação da reta. Quanto maior o valor absoluto do coeficiente angular, mais inclinada é a reta. Um coeficiente angular positivo indica uma reta crescente, enquanto um coeficiente angular negativo indica uma reta decrescente.

Essa relação é fundamental para a interpretação gráfica da função.

Relação entre o Coeficiente Linear e o Ponto de Intersecção com o Eixo y

O coeficiente linear (b) da função de 1º grau determina o ponto de intersecção da reta com o eixo y. Quando x = 0, o valor de y é igual a b. Isso significa que o coeficiente linear indica a posição vertical da reta no gráfico.

Crescimento e Decrescimento da Função

A função de 1º grau pode ser crescente ou decrescente, dependendo do sinal do coeficiente angular (a):

• a > 0:A função é crescente, ou seja, o valor de y aumenta à medida que o valor de x aumenta.
• a < 0:A função é decrescente, ou seja, o valor de y diminui à medida que o valor de x aumenta.

Determinação do Zero da Função

O zero da função de 1º grau é o valor de x para o qual y = 0. Para determinar o zero da função, podemos resolver a equação y = ax + b para x, fazendo y = 0:

= ax + b

Resolvendo para x, obtemos:

x =

b/a

O zero da função representa o ponto de intersecção da reta com o eixo x.

Aplicações da Função de 1º Grau: Definição E Exemplos De Função De 1 Grau 9 Ano

A função de 1º grau é uma ferramenta poderosa para modelar situações reais em diversas áreas do conhecimento. Sua simplicidade e capacidade de representar relações lineares a tornam ideal para analisar e resolver problemas em áreas como física, matemática, economia e outras.

Exemplos Práticos

Aqui estão alguns exemplos práticos de situações do dia a dia que podem ser modeladas por uma função de 1º grau:

• Custo de produção:O custo total de produção de um produto pode ser modelado por uma função de 1º grau, onde o coeficiente angular representa o custo por unidade e o coeficiente linear representa o custo fixo. Por exemplo, se o custo fixo de produção é R$ 100 e o custo por unidade é R$ 5, a função que representa o custo total é C(x) = 5x + 100, onde x é a quantidade produzida.

• Velocidade constante:O movimento de um objeto com velocidade constante pode ser descrito por uma função de 1º grau, onde o coeficiente angular representa a velocidade e o coeficiente linear representa a posição inicial. Por exemplo, se um carro viaja a uma velocidade constante de 60 km/h e inicia sua viagem no km 10, a função que representa a posição do carro em relação ao tempo é S(t) = 60t + 10, onde t é o tempo em horas.

• Taxa de crescimento:O crescimento linear de uma população ou de uma variável econômica pode ser modelado por uma função de 1º grau, onde o coeficiente angular representa a taxa de crescimento e o coeficiente linear representa o valor inicial. Por exemplo, se a população de uma cidade cresce a uma taxa constante de 2% ao ano e a população inicial é de 100.000 habitantes, a função que representa a população em relação ao tempo é P(t) = 100.000 + 2.000t, onde t é o tempo em anos.

Problema Real

Imagine que você está organizando uma festa de aniversário e precisa alugar mesas e cadeiras. O aluguel de cada mesa custa R$ 20 e o aluguel de cada cadeira custa R$ 5. Você precisa alugar 10 mesas e um número de cadeiras que garanta que todos os seus convidados tenham um lugar para sentar.

Qual é a função que representa o custo total do aluguel, em função do número de cadeiras? Qual é o custo total se você convidar 50 pessoas?

Solução:

Seja x o número de cadeiras que você precisa alugar. O custo total do aluguel é dado pela função C(x) = 200 + 5x, onde 200 é o custo do aluguel das mesas e 5x é o custo do aluguel das cadeiras.

Para 50 convidados, você precisa de 50 cadeiras, então o custo total é C(50) = 200 + 5(50) = R$ 450.

Importância da Função de 1º Grau

A função de 1º grau é uma ferramenta essencial em diversas áreas do conhecimento. Sua capacidade de modelar relações lineares permite analisar e resolver problemas complexos de forma simples e eficiente. Em física, a função de 1º grau é utilizada para descrever movimentos uniformes e calcular a energia cinética de um objeto.

Em matemática, a função de 1º grau é fundamental para o estudo de equações lineares e sistemas de equações. Em economia, a função de 1º grau é utilizada para modelar a oferta e a demanda de bens e serviços, bem como para analisar o crescimento econômico.

Exercícios e Resoluções

Para consolidar o aprendizado sobre a função de 1º grau, vamos resolver alguns exercícios de diferentes níveis de dificuldade.

Exercícios