Exercícios Sobre Função Do 2° Grau – Exercícios Mundo Educação: o estudo das funções quadráticas é fundamental para a compreensão de diversos fenômenos, desde o movimento de projéteis até a otimização de recursos. Este material aborda os conceitos essenciais, explorando a representação gráfica (parábola), a resolução de equações do segundo grau e suas aplicações em problemas contextualizados.
Aprofundaremos na análise do discriminante, na identificação do vértice e na interpretação dos coeficientes da equação, preparando o aluno para resolver uma ampla gama de exercícios e problemas.
Através de exemplos práticos e passo a passo, exploraremos diferentes métodos de resolução, incluindo a fórmula de Bhaskara e a utilização da forma fatorada da equação. A compreensão da relação entre os coeficientes da equação e as características do gráfico da parábola – concavidade, vértice e raízes – será crucial para a resolução eficaz dos exercícios propostos. O objetivo é desenvolver a capacidade de modelar situações reais utilizando funções quadráticas e interpretar os resultados obtidos.
Conceitos Fundamentais da Função do 2° Grau
A função do segundo grau, também conhecida como função quadrática, é uma ferramenta fundamental no estudo da matemática e possui diversas aplicações em áreas como física, engenharia e economia. Seu comportamento gráfico, em forma de parábola, permite modelar fenômenos que envolvem variações quadráticas. Compreender seus elementos constitutivos é essencial para a resolução de problemas que envolvam esse tipo de função.
Forma Geral da Equação e seus Coeficientes, Exercícios Sobre Função Do 2° Grau – Exercícios Mundo Educação
A forma geral da equação de uma função quadrática é dada por: f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são coeficientes reais, com a diferente de zero (a ≠ 0). O coeficiente a determina a concavidade da parábola (para a > 0, a parábola é côncava para cima; para a < 0, a parábola é côncava para baixo) e influencia no seu estreitamento ou alargamento. O coeficiente b influencia na posição do vértice da parábola e na inclinação da reta tangente ao vértice.
O coeficiente c representa o ponto em que a parábola intersecta o eixo y (o valor de f(x) quando x = 0).
Significado do Discriminante e Número de Raízes
O discriminante (Δ), também conhecido como delta, é uma parte crucial da equação do segundo grau. Ele é calculado pela fórmula: Δ = b²-4ac. O valor de Δ determina o número de raízes (ou zeros) da equação, ou seja, os valores de x para os quais f(x) = 0. Se Δ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas.
Se Δ = 0, a equação possui uma raiz real (raiz dupla). Se Δ < 0, a equação não possui raízes reais (possui duas raízes complexas).
Formas de Representar uma Função Quadrática
Existem três formas principais de representar uma função quadrática: a forma geral (já descrita acima), a forma fatorada e a forma canônica. A forma fatorada é dada por f(x) = a(x - x₁)(x - x₂), onde x₁ e x₂ são as raízes da equação. Essa forma facilita a identificação das raízes.
A forma canônica é dada por f(x) = a(x - xᵥ)² + yᵥ, onde (xᵥ, yᵥ) são as coordenadas do vértice da parábola. Esta forma facilita a identificação do vértice e a construção do gráfico. A escolha da forma mais adequada depende do contexto do problema e da informação disponível.
Encontrando as Raízes Utilizando a Fórmula de Bhaskara
A fórmula de Bhaskara é utilizada para encontrar as raízes de uma equação do segundo grau. Os passos para sua aplicação são:
- Identificar os coeficientes a, b e c da equação na forma geral.
- Calcular o discriminante (Δ) usando a fórmula
Δ = b² - 4ac. - Se Δ ≥ 0, aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
x = (-b ± √Δ) / 2a. - Se Δ < 0, a equação não possui raízes reais.
Exemplos de Funções Quadráticas
A tabela abaixo apresenta exemplos de funções quadráticas com diferentes valores de a, b e c, suas respectivas raízes e vértices. Note que o vértice de uma parábola pode ser calculado usando a fórmula xᵥ = -b/2a e substituindo este valor na função para encontrar yᵥ = f(xᵥ).
| a | b | c | Raízes | Vértice (xᵥ, yᵥ) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | -4 | 3 | x₁ ≈ 3.79, x₂ ≈ 0.21 | (2, -1) |
| -1 | 2 | -3 | x₁ = 3, x₂ = -1 | (1, -4) |
| 2 | 0 | -8 | x₁ = 2, x₂ = -2 | (0, -8) |
| 1 | 2 | 1 | x = -1 (raiz dupla) | (-1, 0) |
Gráfico da Função do 2° Grau (Parábola): Exercícios Sobre Função Do 2° Grau – Exercícios Mundo Educação
O gráfico de uma função quadrática, também conhecida como função do segundo grau, é uma parábola. A forma e a posição dessa parábola no plano cartesiano são determinadas pelos coeficientes da equação da função, que possui a forma geral
f(x) = ax² + bx + c
, onde a, b e c são constantes reais e a ≠ 0. A compreensão do gráfico permite a análise de diversas características da função, como seu comportamento, pontos críticos e interseções com os eixos.
Coordenadas do Vértice da Parábola
O vértice da parábola representa o ponto de máximo ou mínimo da função. Suas coordenadas (x v, y v) podem ser calculadas utilizando as seguintes fórmulas, derivadas da forma canônica da equação:
xv = -b / 2a
yv = f(x v) = a(x v)² + b(x v) + c
Substituindo o valor de x v na equação da função, obtém-se o valor de y v. Assim, o vértice é completamente determinado a partir dos coeficientes a, b e c da equação original. Por exemplo, na função f(x) = 2x²
- 4x + 1, temos a = 2, b = -4 e c = 1. Logo, x v = -(-4) / (2*2) = 1 e y v = 2(1)²
- 4(1) + 1 = -1. O vértice é (1, -1).
Concavidade da Parábola
A concavidade da parábola (para cima ou para baixo) é determinada pelo sinal do coeficiente “a”.* Se a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima (forma um “U”). Neste caso, o vértice representa um ponto de mínimo.- Se a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo (forma um "∩"). Neste caso, o vértice representa um ponto de máximo. Por exemplo, a função f(x) = 2x² -4x + 1 (a = 2 > 0) tem concavidade para cima, enquanto a função g(x) = -x² + 2x – 1 (a = -1 < 0) tem concavidade para baixo.
Pontos de Interseção com os Eixos x e y
A parábola intercepta o eixo y no ponto onde x = 0. Substituindo x = 0 na equação da função, obtemos o ponto (0, c).
Ou seja, a interseção com o eixo y é dada pela coordenada (0, c).As interseções com o eixo x (também chamadas de raízes ou zeros da função) são encontradas resolvendo a equação ax² + bx + c =
0. Isso pode ser feito utilizando a fórmula de Bhaskara
x = [-b ± √(b²
4ac)] / 2a
O discriminante (Δ = b²
4ac) determina o número de raízes reais
* Δ > 0: Duas raízes reais distintas.
Δ = 0
Uma raiz real (raiz dupla).
Δ < 0
Nenhuma raiz real (a parábola não intercepta o eixo x).
Variações na Abertura e Posição da Parábola com Diferentes Valores de “a”
O valor absoluto de “a” influencia na abertura da parábola: quanto maior |a|, mais fechada é a parábola; quanto menor |a|, mais aberta ela é. O sinal de “a”, como já mencionado, determina a concavidade. Os coeficientes “b” e “c” afetam a posição da parábola no plano cartesiano, influenciando na translação horizontal e vertical do vértice.
Gráfico de uma Função Quadrática Específica
Considere a função f(x) = -x² + 4x – 3. Temos a = -1, b = 4 e c = -3.* Concavidade: Como a = -1 < 0, a parábola tem concavidade para baixo. - Vértice: x v = -4 / (2*-1) = 2; y v = -(2)² + 4(2)3 = 1. O vértice é (2, 1).
Interseção com o eixo y
(0, -3).
Interseção com o eixo x
Resolvendo -x² + 4x – 3 = 0, encontramos x = 1 e x = 3. As interseções são (1, 0) e (3, 0).O gráfico seria uma parábola com concavidade voltada para baixo, vértice no ponto (2, 1), interceptando o eixo y em (0, -3) e o eixo x em (1, 0) e (3, 0). A parábola seria simétrica em relação à reta x = 2.
Visualmente, imagine uma parábola invertida com o ponto mais alto em (2,1) e cruzando o eixo x em 1 e 3, e o eixo y em -3.
Aplicações e Problemas com Funções do 2° Grau
As funções quadráticas, representadas pela equação y = ax² + bx + c (onde a, b e c são constantes e a ≠ 0), possuem amplas aplicações em diversos campos da ciência e da engenharia, modelando fenômenos que envolvem variações parabólicas. Sua capacidade de descrever trajetórias, otimizar processos e resolver problemas geométricos a torna uma ferramenta essencial na resolução de problemas práticos.
Problema Contextualizado: Lançamento de Projéteis
Um projétil é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de 40 m/s. A altura h (em metros) em função do tempo t (em segundos) é dada pela equação h(t) = -5t² + 40t. Determine o tempo que o projétil leva para atingir a altura máxima e qual é essa altura máxima.A equação representa uma parábola com concavidade voltada para baixo ( a = -5 < 0), indicando que a altura máxima corresponde ao vértice da parábola.
A coordenada t do vértice é dada por tv = -b/(2a) = -40/(2*(-5)) = 4 segundos. Substituindo t = 4 na equação da altura, encontramos a altura máxima: h(4) = -5(4)² + 40(4) = 80 metros. Portanto, o projétil atinge a altura máxima de 80 metros após 4 segundos.
Resolução de um Problema de Otimização
Uma empresa fabrica caixas de papelão com base quadrada. O volume da caixa deve ser de 1000 cm³. Para minimizar o custo do material, deseja-se determinar as dimensões da caixa que utilizam a menor quantidade de papelão. Seja x o lado da base quadrada e y a altura da caixa. O volume é dado por V = x²y = 1000, logo y = 1000/x².
A área total da superfície da caixa é A(x) = 2x² + 4xy = 2x² + 4x(1000/x²) = 2x² + 4000/x. Para encontrar o mínimo da área, calculamos a derivada de A(x) e igualamos a zero: A'(x) = 4x – 4000/x² = 0. Resolvendo a equação, encontramos x³ = 1000, ou seja, x = 10 cm. A altura correspondente é y = 1000/10² = 10 cm. A área mínima é A(10) = 2(10)² + 4000/10 = 600 cm².
Problemas com Aplicações em Situações Reais e suas Resoluções
A seguir, três problemas que ilustram aplicações de funções quadráticas em situações reais:
- Problema 1: Um fazendeiro deseja cercar um terreno retangular com 100 metros de cerca. Quais as dimensões do terreno que maximizam a área? Resolução: Sejam x e y as dimensões do terreno. O perímetro é 2x + 2y = 100, logo y = 50 – x. A área é A(x) = x(50 – x) = -x² + 50x.
O vértice da parábola ocorre em x = -b/(2a) = 50/2 = 25 metros. Assim, as dimensões que maximizam a área são 25 metros por 25 metros.
- Problema 2: A trajetória de uma bola lançada é descrita pela equação h(t) = -4.9t² + 15t + 2, onde h é a altura em metros e t é o tempo em segundos. Determine o tempo que a bola leva para atingir o solo ( h = 0). Resolução: Resolvendo a equação quadrática -4.9t² + 15t + 2 = 0 utilizando a fórmula de Bhaskara, encontramos duas raízes.
A raiz positiva representa o tempo que a bola leva para atingir o solo. (Cálculo aproximado necessário para encontrar o valor de t).
- Problema 3: O lucro de uma empresa (em milhares de reais) é dado por L(x) = -x² + 10x – 16, onde x é a quantidade de unidades vendidas (em milhares). Determine a quantidade de unidades que maximiza o lucro e qual é o lucro máximo. Resolução: O vértice da parábola representa o lucro máximo. A coordenada x do vértice é x = -b/(2a) = 10/2 = 5 milhares de unidades.
O lucro máximo é L(5) = -5² + 10(5)
16 = 9 milhares de reais.
Métodos para Resolver Problemas em Geometria
Diversos métodos podem ser empregados para resolver problemas geométricos envolvendo equações do segundo grau. A aplicação da fórmula de Bhaskara é um método direto para encontrar as raízes da equação. A fatoração da equação quadrática, quando possível, simplifica a resolução, permitindo encontrar as raízes de forma mais rápida. Métodos gráficos, utilizando a representação da parábola no plano cartesiano, permitem visualizar as soluções e interpretar o problema geometricamente.
Em alguns casos, a utilização de relações métricas em triângulos ou outras propriedades geométricas pode auxiliar na resolução.
Problema Resolvido Utilizando a Forma Fatorada
Um retângulo tem área de 24 m² e seu comprimento é 2 metros maior que sua largura. Determine as dimensões do retângulo. Seja x a largura. O comprimento é x + 2. A área é x(x + 2) = 24.
A equação quadrática é x² + 2x – 24 = 0. Fatorando a equação, temos (x + 6)(x – 4) = 0. As soluções são x = -6 e x = 4. Como a largura não pode ser negativa, a largura é 4 metros e o comprimento é 6 metros.
Dominar as funções do segundo grau é essencial para o sucesso em matemática e em diversas áreas do conhecimento. Este material, focado em exercícios práticos, proporcionou uma revisão completa dos conceitos fundamentais, desde a interpretação da equação até a resolução de problemas contextualizados. A prática constante e a compreensão da relação entre a equação, o gráfico e as aplicações práticas são as chaves para o domínio deste importante tópico.
A resolução dos exercícios propostos permitirá ao aluno consolidar seus conhecimentos e desenvolver habilidades analíticas essenciais para a resolução de problemas mais complexos.